阅读《强化学习与大模型推荐系统》应具备一定的深度学习和推荐系统技术基础，适合于对大模型和强化学习推荐技术感兴趣的读者学习参考。
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强化学习推荐系统：不同的探索策略——汤普森采样探索策略（4.4）

一个优秀的探索策略要能够同时满足探索和利用的需求，以下代码构造了一个具有5个动作的策略评估环境，以此来对不同探索策略的累计遗憾值进行分析：

class Bandit:
    def __init__(self, arm_count):
        self.arm_count = arm_count
        self.generate_arms()

    def generate_arms(self):
        self.arms = []
        for _ in range(self.arm_count):
            mean = np.random.normal(0, 1)
            std_dev = np.random.uniform(0.5, 1.5)
            self.arms.append((mean, std_dev))

    def reward(self, arm):
        mean, std_dev = self.arms[arm]
        return np.random.normal(mean, std_dev)

    def optimal_arm(self):
        return np.argmax([mean for mean, _ in self.arms])

if __name__ == "__main__":
    arm_count = 5
    bandit = Bandit(arm_count)

具体来说，策略评估环境中设置了5个臂，摇动臂的奖励${\text{reward}}_a$服从不同的正态分布：$${\text{reward}}_a=\mathcal{N}(\mu ,\sigma )$$其中，$\mu$和$\sigma$分别是正态分布的均值和方差，它们是随机生成的。定义拥有最大均值的动作是最优动作$a_{\ast }$，最优价值$V_{\ast }$从最优臂的价值分布中采样得到。

优化策略需要牺牲短期利益，因为需要通过探索搜集更多的信息以获得更优的动作，使得智能体最终能够获得更多回报。探索和利用是强化学习中的一对矛盾体，这意味着在学习过程中，智能体需要在已知和未知的情况下做出最优的决策。

其中，利用是指在已知情况下选择已知最优的策略来获得收益，而探索是指在未知情况下，为了获取更多的信息和收益，选择不同的策略进行尝试。

探索是指在不确定性的环境中，探索新的策略或动作来获得更高的奖励或效用，包含两个部分：一是尝试未知的行为，以期找到更好的策略并更新模型；二是平衡已知和未知的行为，以确保不会错过可能的好策略。

在推荐系统中，探索可以包括推荐新的项目、向用户提供个性化的推荐建议或者探索不同的推荐策略（如多臂机）。探索和利用需要平衡，以确保推荐系统具有长期的优化效果。

一个标准的强化学习算法包括探索和利用两个步骤——探索帮助智能体充分了解其状态空间，利用则帮助智能体找到最优的动作序列。

用来平衡探索和利用的方法包括：贪心探索策略、高斯探索策略、UCB探索策略、玻尔兹曼探索策略、汤普森采样探索策略和熵正则化探索策略等，本篇博客我们介绍一下汤普森采样探索策略。

贪心探索策略请查看：强化学习推荐系统：不同的探索策略——贪心探索策略（4.1）
高斯探索策略请查看：强化学习推荐系统：不同的探索策略——高斯探索策略（4.2）
UCB探索策略请查看：强化学习推荐系统：不同的探索策略——UCB探索策略（4.3）

汤普森采样探索策略

汤普森采样也是一种基于概率的探索策略，它通过智能体与环境的交互信息，来估计每一个动作是最优动作的概率，然后依据这个概率选择后续动作。它采用贝叶斯推断的方法，将每个臂的价值概率视为一个Beta分布，根据信息修正Beta分布的两个参数$\alpha$和$\beta$，并在选择臂时根据该分布进行概率采样。

贝叶斯推断以贝叶斯定理为核心，在推断之前，应根据不同的情况假设各个臂的价值分布情况，这些假设被称为先验分布（假设分布）。在实际应用中，我们应用先验分布来选择臂，然后结合多次臂价值的实际数据，不断更新臂价值的后验分布（实际分布）。贝叶斯推断的过程可以简单地表示为：

$$\text{后验分布}\propto \text{实际数据}+\text{先验分布}$$

它的数学形式表达为：

$$\begin{array}{rl}P(\theta |\text{data})& \propto P(\text{data}|\theta )P(\theta )\\ & =\frac{P(\text{data}|\theta )P(\theta )}{P(\text{data})}\end{array}$$

其中， $P(\theta )$是以$\theta$为随机变量的先验分布；$P(\theta |\text{data})$为后验分布，它是在给定数据data的基础上关于臂价值的推断；$P(\text{data}|\theta )$称为似然，表示在给定分布参数的情况下，观测到数据data的可能性。$P(\text{data})$是边缘概率，也称为证据，它在实际应用中被视为归一化常数，不影响后验分布的形状。

当强化学习的奖励是“有奖励/无奖励”这样的二项式奖励时，Beta分布是二项分布的共轭先验，可以使用用Beta分布来假设先验分布，即：

$$P(\theta )\sim \text{Beta}(\theta |\alpha ,\beta )$$

之所以选用Beta分布，是因为Beta分布有以下两个比较好的性质：
（1）它有两个超参数，通过调整参数可以让Beta分布近似地表示任何一种概率分布；
（2）当观察到二项式奖励时，如果先验分布是Beta分布，那么贝叶斯推断得到的后验分布依然是Beta分布，该性质称为共轭性，可以使计算和更新更加简易。

Beta分布是一种描述概率的概率分布，当我们不知道一个随机变量的具体概率分布是什么样时，可以将其概率分布定义为Beta分布，然后利用真实的采样数据去拟合出这个概率分布：

$$\text{Beta}(\theta |\alpha ,\beta )=\frac{{\theta }^{\alpha -1}(1-\theta {)}^{\beta -1}}{\text{B}(\alpha ,\beta )}$$

其中，
$\alpha >0$和$\beta >0$是Beta分布的两个可调参数，用于控制Beta分布的形状；
$\text{B}(\alpha ,\beta )=(\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta ))/\Gamma (\alpha +\beta )$是Beta函数，它将Beta分布的概率密度积分标准化为1，这里$\Gamma (.)$的是Gamma函数，$\Gamma (\alpha )\triangleq {\int }_0^{\infty }{\theta }^{\alpha -1}{\text{e}}^{-\theta }\text{d}\theta$，它是阶乘在实数范围内的推广；
Beta分布的均值是$\alpha /(\alpha +\beta )$，方差是$\alpha \beta /[(\alpha +\beta {)}^2(\alpha +\beta +1)]$。

上图所示是一个经典的Beta分布的概率密度函数。图中横轴$\theta$表示概率，取值范围是(0,1)，纵轴表示概率密度。而参数$\alpha$和$\beta$可以控制图形的形状和位置，使得Beta分布呈现不同形态，从而表示各式各样的先验分布。

为了应用汤普森采样探索策略，我们将臂的奖励转换为二值，用1表示奖励大于0，用0表示奖励不大于0），此时臂的奖励就是一个二项伯努利分布，其似然函数为：

$$\begin{array}{rl}P(\text{data}|\theta )& \propto \prod _{i=1}^N{\theta }^{x_i}(1-\theta {)}^{1-x_i}\\ & ={\theta }^z(1-\theta {)}^{N-z}\end{array}$$

其中，$\theta$就是臂的价值。将该二项分布设为MAB的先验分布，即$P(\theta )\propto {\theta }^{\alpha -1}(1-\theta {)}^{\beta -1}$，推导出后验分布为：

$$\begin{array}{rl}P(\theta |\text{data})& \propto P(\text{data}|\theta )P(\theta )\\ & ={\theta }^{z+\alpha -1}(1-\theta {)}^{N-z+\beta -1}\end{array}$$

设$a=\alpha +z$、$b=N-z+\beta$，可以发现这个后验概率也服从Beta分布，只需要用Beta函数将后验概率标准化即可：

$$P(\theta |\text{data})=\frac{{\theta }^{a-1}(1-\theta {)}^{b-1}}{\text{B}(a,b)}$$

即：
$$\begin{array}{rl}P(\theta |\text{data})& \sim \text{Beta}(a,b)\\ & =\text{Beta}(\alpha +\text{正向奖励},\beta +\text{非正向奖励})\end{array}$$

其中，正向奖励用于在奖励大于0时对$\alpha$进行修正，非正向奖励用于在奖励不大于0时对$\beta$进行修正。Beta分布在这里被初始化为均匀分布Beta(1,1)，表示对臂的价值$\theta$完全无知，若修正后的Beta分布为Beta(2,2)则表示认为臂的价值$\theta$接近0.5（ 在0.5处的概率密度最大）。可见，通过多次试验获取的附加信息可以对先验概率进行修正，以获得更准确的后验概率，以上就是汤普森采样探索策略的数学推理。

如下代码实现了汤普森采样探索策略：

def thompson_sampling(bandit, T):
    arm_count = bandit.arm_count
    alpha = np.ones(arm_count)
    beta = np.ones(arm_count)

    cumulative_regret = [0]
    for t in range(1, T+1):
        theta = np.random.beta(alpha, beta)
        arm = np.argmax(theta)

        reward = bandit.reward(arm)
        if reward > 0:
            alpha[arm] += 1
        else:
            beta[arm] += 1

        optimal_reward = bandit.reward(bandit.optimal_arm())
        cumulative_regret.append(
            cumulative_regret[-1] + (optimal_reward - reward))

    return cumulative_regret

if __name__ == "__main__":
    arm_count = 5
    T = 1000
    bandit = Bandit(arm_count)

    cumulative_regret_thompson_sampling = thompson_sampling(bandit, T)

以上代码定义了thompson_sampling()方法，它仅接收两个参数：

• bandit（一个多臂机实例）；
• T（试验轮次，即在多臂机上探索/利用的轮次）。

在每轮试验中，汤普森采样探索策略通过Beta分布估计每一个臂是最优臂的概率，然后依据这个概率进行采样。需要注意的是，汤普森采样探索策略的效果受初始概率分布（对应$\alpha$和$\beta$）的影响，因此，在实际应用中需要合理地选择初始概率分布。

上面这张图展示了汤普森采样探索策略中Beta分布的概率密度演变的过程，我们用5个时间步来说明汤普森采样探索策略具体是如何发挥作用的，其中，$P$指的是对应臂是最优臂的概率。在每个时刻，Beta分布估计每一个臂是最优臂的概率，从而得到一个概率分布，然后依据概率分布采样臂，再根据臂的奖励调整超参数，逐步收敛到实际的概率分布。