深度学习基础 - 累加符号和连乘符号

flyfish

二分掌柜的

34243人浏览 · 2019-12-31 20:13:32

二分掌柜的 · 2019-12-31 20:13:32 发布

深度学习基础 - 累加符号和连乘符号

flyfish

累加符号（∑）

累加符号（∑）是一个大写的希腊字母“sigma”（Σ），代表“S”（Sum，总和的意思）。它被用来表示一系列项的总和。累加符号的起源
累加符号最初是由17世纪的法国数学家皮埃尔-德·费马（Pierre de Fermat）和布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal）引入的。然而，现在的累加符号形式是由18世纪的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在1755年的著作中正式采用的。累加符号其他名字 Sigma Notation 、Summation Notation。

一般形式

累加符号的一般形式如下：
$∑i=mnai\sum_{i=m}^{n} a_i$
这里：
$∑\sum$ 表示累加符号。
$i$ 是累加索引，它从 $m$ 到 $n$ 逐个取值。
$a_i$ 表示第 $i$ 项。

这个表达式的含义是：
$∑i=mnai=am+am+1+⋯+an−1+an\sum_{i=m}^{n} a_i = a_m + a_{m+1} + \cdots + a_{n-1} + a_n$

就是
$∑i=15i=1+2+3+4+5\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{5} i &=1+2+3+4+5 \end{aligned}$

示例 1

假设我们有一个数列 $a1,a2,a3,…,ana_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ ，其中 $a_i = i^2$ （即每一项是其索引的平方）。如果我们想计算从 $i = 1$ 到 $i = 5$ 的累加和，可以写作：
$∑i=15i2=12+22+32+42+52=1+4+9+16+25=55\sum_{i=1}^{5} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$

示例2

$∑i=37i=3+4+5+6+7\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{i=3}^{7} i &=3+4+5+6+7 \end{aligned}$

示例3

$∑i=252i=2(2)+2(3)+2(4)+2(5)=4+6+8+10\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{i=2}^{5} 2 i\\ &=2(2)+2(3)+2(4)+2(5)\\ &=4+6+8+10 \end{aligned}$

示例4

$∑j=14jx=1x+2x+3x+4x\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{j=1}^{4} j x &=1 x+2 x+3 x+4 x \end{aligned}$

示例5

$∑i=12∑j=46(3ij)=∑i=12(3i⋅4+3i⋅5+3i⋅6)=(3⋅1⋅4+3⋅1⋅5+3⋅1⋅6)+(3⋅2⋅4+3⋅2⋅5+3⋅2⋅6)\displaystyle \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=4}^{6}(3 i j)\\ &=\sum_{i=1}^{2}(3 i \cdot 4+3 i \cdot 5+3 i \cdot 6)\\ &=(3 \cdot 1 \cdot 4+3 \cdot 1 \cdot 5+3 \cdot 1 \cdot 6)+(3 \cdot 2 \cdot 4+3 \cdot 2 \cdot 5+3 \cdot 2 \cdot 6) \end{aligned}$

示例6

$∑k=1∞(k+1)3=23+33+⋯n3+⋯\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}(k+1)^{3}=2^{3}+3^{3}+\cdots n^{3}+\cdots$

连乘符号（∏）

连乘符号（∏）是一个大写的希腊字母“pi”（Π），代表“P”（Product，乘积的意思）。它被用来表示一系列项的乘积。连乘符号其他名字 Pi Notation、Product Notation。连乘符号的起源可以追溯到18世纪的数学家莱昂哈德·欧拉。他在1755年的著作中引入了连乘符号，以简洁地表示乘积的形式。

一般形式

连乘符号的一般形式如下：
$∏i=mnai\prod_{i=m}^{n} a_i$
这里：
$∏\prod$ 表示连乘符号。
$i$ 是连乘索引，它从 $m$ 到 $n$ 逐个取值。
$a_i$ 表示第 $i$ 项。

这个表达式的含义是：
$∏i=mnai=am⋅am+1⋅…⋅an−1⋅an\prod_{i=m}^{n} a_i = a_m \cdot a_{m+1} \cdot \ldots \cdot a_{n-1} \cdot a_n$

假设我们有一个数列 $a1,a2,a3,…,ana_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ ，其中 $a_i = i$ （即每一项是其索引）。如果我们想计算从 $i = 1$ 到 $i = 5$ 的连乘积，我们可以写作：
$∏i=15i=1⋅2⋅3⋅4⋅5=120\prod_{i=1}^{5} i = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

这个例子实际上是计算了5的阶乘（ $5!$ ）。

示例1

$∏i=37i=(3)(4)(5)(6)(7)\displaystyle \begin{aligned} &\prod_{i=3}^{7} i &=(3)(4)(5)(6)(7) \end{aligned}$

示例2

$∏i=16i2=(1)(4)(9)(16)(25)(36)\displaystyle \prod_{i=1}^{6} i^{2}=(1)(4)(9)(16)(25)(36)$

示例3

$∏i=12∏j=46(3ij)=∏i=12((3i⋅4)(3i⋅5)(3i⋅6))=((3⋅1⋅4)(3⋅1⋅5)(3⋅1⋅6))((3⋅2⋅4)(3⋅2⋅5)(3⋅2⋅6))\displaystyle \begin{aligned} &\prod_{i=1}^{2} \prod_{j=4}^{6}(3 i j)\\ &=\prod_{i=1}^{2}((3 i \cdot 4)(3 i \cdot 5)(3 i \cdot 6))\\ &=((3 \cdot 1 \cdot 4)(3 \cdot 1 \cdot 5)(3 \cdot 1 \cdot 6))((3 \cdot 2 \cdot 4)(3 \cdot 2 \cdot 5)(3 \cdot 2 \cdot 6)) \end{aligned}$