结构动力系统广泛存在于航空航天、机电设备、轨道交通与智能制造等领域。其建模与控制常受限于非线性摩擦、耦合振动、结构复杂性与实时性要求，导致传统建模方式难以覆盖全生命周期行为。在数据与算力快速提升的背景下，人工智能与物理建模的深度融合正在重塑动力系统的设计、预测与控制方式。从PINN构建无监督PDE解算器，到LSTM捕捉历史依赖响应，再到SINDy还原控制方程，再辅以隐马尔可夫模型 (HMM)、Random Forest、傅里叶变化+全卷积神经网络构建智能诊断器，结构动力学系统建模的范式正向数据驱动与混合建模方向演化。针对高频、低容错、强耦合的动力系统而言，AI提供了更加精准的建模、实时识别与在线预测的全新路径。本课程正是面向这一变化趋势，结合工程物理背景与先进算法技术，系统构建学员的“数据–模型–控制”闭环能力。

概述

AI辅助结构动力学系统控制与监测：从振动识别到参数反演

本课程旨在系统培养学员掌握以深度学习为核心的数据驱动与物理建模方法，面向结构振动、摩擦建模、动态系统控制与故障诊断等工程场景，提升学员在复杂非线性动力系统中的建模与识别能力。课程结合常微分/偏微分方程基础与现代机器学习技术，以结构动力学与控制理论为应用基础，讲解如何利用物理信息神经网络 (Physics-Informed Neural Networks, PINNs)、长短期记忆网络 (Long Short-Term Memory, LSTM)、稀疏非线性动力学系统识别 (Sparse Identification of Nonlinear Dynamical Systems, SINDy)、全卷积网络 (Fully Convolutional Network, FCN)、卷积神经网络 (Convolutional Neural Network, CNN)，卷积神经网络 (Recurrent Neural Network, RNN) 等方法构建正向预测模型与逆向参数识别框架。通过多类工程案例，包括旋转轴振动不平衡检测、多自由度振动系统建模、摩擦驱动电机辨识、结构系统PDE求解等，学员将掌握从物理方程构建、数据采集、模型设计到最终控制优化的完整工作流。课程以MATLAB和Python为实现平台，全面覆盖结构动力学中前沿智能建模技术在工业智能监测、数字孪生、智能诊断和非线性控制系统中的实际应用。

目标

1.系统掌握结构振动建模方法，包括常微分系统、耦合多自由度系统建模、边值问题与时域模拟；

2.掌握 PINN 的正向/反向问题建模方法，能够在 MATLAB 中实现控制方程求解、边界/初始条件约束与物理残差最小化；

3.掌握 SINDy 稀疏建模方法，能够从振动实验数据中自动回归出非线性动力学方程，并理解其可解释性与稀疏性设计；

4.精通时间序列神经网络 (LSTM/GRU) 与频域建模方法 (FFT+FCN)，应用于转轴振动不平衡识别、信号模式识别与异常检测；

5.建立完整的结构故障诊断建模流程，涵盖原始数据预处理、特征提取、模型训练、测试评估与工业部署流程；

6.理解动力系统中的正/反建模逻辑，掌握在线与离线参数辨识方法，在无测量数据的前提下完成仿真驱动建模；

7.学会根据问题特性选择建模路径 (全数据驱动、纯物理建模、混合方法)，具备数据–物理协同建模思维；

8.实战掌握深度学习工具 (TensorFlow、Keras) 与工程平台 (MATLAB) 的集成方法，利用DeepSeak 指导GPU加速进行深度学习模型训练, 实现跨平台建模与部署。

第一天上午

结构动力学理论知识

以单自由度与多自由度系统为主线，介绍动力学方程的推导过程，包括质量、刚度、阻尼的构建方式及其物理意义；结合常见边界与初始条件，建立控制方程的完整形式。

在非线性动力学分析中，将介绍非线性振动的基本理论与处理方法，包括几何非线性和材料非线性的建模技巧，以及如何应对大振幅振动和非线性共振现象。将重点讲解系统的自由振动与强迫振动响应规律、模态分析方法、非线性项的处理方式，以及常微分/偏微分方程在振动建模中的表达结构。

此外，课程还将介绍线性与非线性结构动力学的数值求解方法，特别是线性多步法和模态分解法在振动分析中的应用，以及如何利用数值方法处理非线性动力学问题。学生将学习如何利用数值算法进行模态分析、频率响应分析和瞬态响应分析。最后讲解常用商业软件中(COMSOL, Adams, Ansys)结构动力学的求解案例。为后续使用PINN (物理信息神经网络)、SINDy (稀疏非线性动力学系统识别)等方法进行结构系统建模奠定数据基础。

第一天下午

稀疏环境下的状态评估 (理论+实操)

以多自由度非线性弹簧振子系统为例，介绍稀疏观测环境下的状态评估方法。首先讲解系统的振动方程推导，提取状态矩阵和输出矩阵，训练数据中在激励信号中加入白噪音，并使用龙格-库塔有限差分方法求解系统的时域响应，从而建立训练样本。在此基础上，介绍物理引导神经网络 (PINN) 方法及其在耦合多自由度系统中的应用，讲解如何将复杂的力学问题转化为回归问题。重点讲述神经网络向 PINN 的演化过程，通过引入物理方程残差作为目标函数的一部分，评估计算域和边界条件下的物理误差，并建立包含观测误差与物理误差的总目标函数。进一步构建空间状态系统，仅以时间为输入、以系统加速度为输出，通过动量定理写出输出表达式并离散化为可观测数据，同时实现振动方程输入从二次函数降阶为一次函数的简化。最后介绍PINN的全流程迭代算法，并以TensorFlow或PyTorch作为实现框架。

图 1多自由度系统和解耦后的单自由度系统

案例对比分析与贝叶斯推理方法 (理论+实操)

1.通过三组案例分析模型中非线性力和白噪音对预测精度的影响，分别探讨：将观测域进行空间离散；分离观测自由度 (训练数据) 与系统总自由度；设计并引入噪音分布函数以评估 PINN 参数。进而推导同时考虑噪音影响的观测似然项与物理方程似然项，构造完整目标函数。为避免传统高斯分布对参数物理意义造成模糊，引入马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC)方法进行贝叶斯采样推断，采用NUTS算法，并使用基于PyTorch的Pyro框架执行采样流程，从而提升对系统不确定性和参数分布的建模能力。

图 2PINN损失函数定义

图 3PINN 工作流

第二天上午

基于 PINN 方法的系统参数评估与稀疏恢复 (实操+代码)

本节继续使用多自由度非线性弹簧振子系统作为案例，采用实测加速度与激励力作为训练数据，在初步实验中不考虑噪音影响，并按照特定比例划分已观测 (observed DOF) 与未观测 (unobserved DOF) 自由度。首先应用 PINN 方法预测 observed 和 unobserved 自由度的速度、位移、加速度与激励力，并验证预测结果与系统自由度数目的无关性，探讨系统在不同维度下的误差传递规律。随后取消系统中的非线性项，进一步研究非线性对误差传递路径的影响。最后，在训练数据中重新引入噪音，尽管存在扰动，模型仍可实现 94% 的拟合精度，验证了该方法在存在噪声情形下的稳健性和准确性。 

图 4 非线性弹簧振子系统, 采用考虑噪音的训练数据, 观测的自由度和未观测的自由度上, 位移速度加速度激励力都有准确的预测结果 

第二天下午

基于 PINN 的状态与物理参数联合评估(实操+代码)

本节继续基于前文中构建的多自由度弹簧振子模型，进一步实现对系统中测量与未测量自由度状态以及未知物理参数 (如弹簧刚度) 的同步预测。首先明确观测自由度的选取，并将待评估的系统参数 (如非线性刚度) 从系统模型中分离出来，构建多轮次预测任务。在三组实验中分别对系统是否包含非线性项、是否包含噪音等情境进行对比，系统性分析不同条件下模型预测能力与稳定性。最终，通过引入高信噪比的位移信号作为训练数据，进一步提升了模型精度，并结合输出结果分析系统中不同自由度预测结果之间的相关性，验证 PINN 框架在同时估计状态与参数方面的有效性与适用性。

图 5基于MCMC流程的2自由度Van Der Pol弹簧振子系统样本之间的相关性图

第三天上午

基于PINN的弹性力学与模态分析问题求解 (实操+代码)

本模块介绍如何将物理引导神经网络 (PINNs) 应用于三维弹性力学与梁大变形问题的求解，并扩展到振动模态分析。通过结合深度能量方法 (DEM) 和PINN框架，无需传统有限元方法 (FEM) 的网格划分，直接通过神经网络预测结构体位移、应力分布及振动模态特性。该方法不仅适用于静力学分析，还能够高效求解复杂的振动问题，具备更高的灵活性与物理一致性。方法融合了弹性力学基本方程与深度学习技术，通过构建物理一致性的损失函数，实现对复杂三维结构力学行为的无网格建模。损失函数基于深度能量方法 (DEM) ，涵盖内部能、外部功、边界条件等物理量，能够有效模拟静力学和振动分析中所需的动力学行为。输入材料参数 (如杨氏模量、泊松比等) 确保了模拟过程对实际材料行为的准确刻画。

模型使用三维体素数据作为输入，适用于多种工程应用场景，特别是在结构力学和振动分析中，网络结构支持定制，可以增加隐藏层数或神经元数量，以适应不同复杂度的工程问题。输出结果不仅包括静力学中的应力与位移预测，还能够给出振动模态的频率与形状。通过这种方式，结构的振动特性能够在没有网格划分的情况下得到准确的预测，满足多尺度物理分析与模拟的需求。

针对梁结构的大变形问题，基于PINN框架进行建模与求解。首先推导梁单元的控制方程及边界条件，并回顾其理论背景，随后详细讲解PINN框架下的三个核心组成部分：用于近似解的人工神经网络 (ANN) 、引入物理约束的物理信息以及构建的损失函数。损失函数考虑了控制方程与边界条件的约束，确保解空间的全局一致性。在振动模态分析中，损失函数还可以包括对固有频率与振型的物理约束，从而使网络能够学习到结构的动态行为。

PINN的训练采用迭代算法，结合自适应动量优化算法 (Adam) ，提高训练的收敛效率。训练完成后的权重参数可用于其他问题的初始化，提高模型的泛化能力。通过分析梁/壳的变形与振动状态，还可调整权重函数，特别在应力集中区域与振动频率敏感区域给予更高权重，以提高预测精度。通过典型算例与解析解或有限元解对比，验证模型在静力学和振动模态分析中的性能，包括：受力矩作用的悬臂梁、存在初始缺陷的柱体在轴向压缩下的变形行为、分布载荷作用下的悬臂梁、同时承受弯矩与轴向力的柱体、简支平板受均布载荷。相比传统有限元分析 (FEA) ，PINN方法无需网格划分，且具有较强的适应性和通用性，是解决静力学和振动模态分析中复杂力学问题的强大工具。

图 6 梁和壳变形问题模型的建立

图 7有限元工作流和PINN工作流对比, PINN无需网格化, 对不同模型无需重新建模, 适应性更强

图 8四种载荷-结构案例的预测域解析解对比

第三天下午

基于改进RNN的动态系统预测(实操+代码)

本节将讲解如何利用改进的递归神经网络 (RNN) 和神经常微分方程 (NODE) 进行动态系统的预测，重点研究二维稳定螺旋系统和二维混沌洛伦兹系统。学生将通过实操与代码实现，理解如何应对这些系统的建模挑战。

首先，我们将分析二维稳定螺旋系统和二维混沌洛伦兹系统的动力学特性。稳定螺旋系统具有较简单的稳定性，轨迹随着时间的推移逐渐收敛到固定点，而洛伦兹系统则因其混沌特性而复杂。洛伦兹系统对初始条件异常敏感，任何微小的扰动都会导致轨迹的指数级发散，虽然系统是确定性的，但这种混沌行为使得预测变得更加困难。

在建模过程中，传统RNN可以很好地拟合稳定系统，但在面对洛伦兹等混沌系统时，由于其非线性和对初始条件的高敏感性，RNN的表现往往不理想。因此，我们引入神经常微分方程 (NODE) 进行改进。NODE通过直接学习系统的微分方程，避免了RNN在处理复杂系统时的局限性，尤其能够更有效地捕捉混沌系统的动态行为。

课程内容包括通过Python实现RNN和NODE的具体应用，首先在上述两个系统中进行建模与预测，然后从Time embedding, Implicit integrator, Smoothness , Prior几个角度展示RNN与NODE的差异和算法选择的差异。最后，还将探讨如何应用NODE处理高维和刚性系统，解决这类系统在训练过程中遇到的挑战。

图 9RNN, NODE对于两个系统的预测结果对比

第四天上午

深度学习结合模型预测控制（MPC） (实操+代码)

本节聚焦于如何将物理引导神经网络 (PINN) 方法应用于非线性模型预测控制 (NMPC) 框架中，解决多连杆机械臂 (如PowerCube串联机器人) 的轨迹控制问题。传统方法中，运动轨迹控制依赖时间积分，对计算性能要求高；而 PINN 方法不仅对初始条件依赖性低，还具备更高的适用性。与依赖 Lagrangian 或 Hamiltonian 力学建模的传统 PINN 不同，本节采用显式微分方程作为动力学建模基础，将非线性动力学近似为 PINN 表达形式，替代数值积分过程，提升求解效率。

课程从系统状态函数建模出发，以位移与速度作为状态变量，构建欠定微分代数方程 (DAE) 与动力学矩阵，并通过零保持 (zero-hold) 假设对系统在时间域上进行离散，形成离散时间控制系统。问题被转化为：在已知第步测量值的前提下，求控制输入 (如转轴速度)，使当前轨迹最优地拟合目标轨迹。以位移、目标位移和控制输入为变量，定义cost function并构建优化方程组，通过离线阶段对非线性系统进行线性化处理，在线性阶段显著提升求解效率，同时分析该线性化误差对最终控制精度的影响。

在模型中，运动学偏微分方程作为深度神经网络 (DNN) 的修正项引入，从 DNN 构建过渡至 PINN，并在collocation点评估物理残差，最终总损失函数由基于训练数据的误差项和基于物理方程的误差项叠加组成。通过引入光滑性假设，解决因神经网络表达能力不足导致的控制函数不可导问题。此外，相较于传统 PINN 固定初始条件的方式，本方法将初始值纳入训练样本空间中，实现时间递推式预测，支持轨迹沿时间维度延展。

整个 PINN-NMPC 框架使用 TensorFlow 实现，采用 L-BFGS 优化算法进行全量梯度训练。课程将讲解神经网络结构的配置、损失函数设置、优化流程，以及训练参数的详细设定。通过 PowerCube 串联机器人与多连杆机械臂为例，展示该框架在保持精度的同时显著加快控制计算速度的能力，强调其在机器人轨迹规划中的实际应用价值。

图 10结构示意图, 优化目标示意图, DNN结合PINN工作流示意图, 预测轨迹与实际轨迹对比 控制函数的误差时间图

第四天下午

基于时间序列机器学习的非线性摩擦系统建模与辨识方法(实操+代码)

本节聚焦于如何利用时间序列机器学习技术，对具有显著非线性摩擦特性的机电系统进行建模与系统辨识。摩擦广泛存在于如齿轮电机、线性驱动器等工业设备中，表现为强非线性、动态滞后、速度依赖性与记忆性等复杂特征，这些特性常常引发控制延迟、跟踪误差、黏滑现象及极限环等问题。尽管已有的物理建模方法如 Coulomb 和 LuGre 模型在工程上广泛使用，但在多变或不确定工况下仍难以准确预测系统行为。为此，本案例引入了多种时间序列机器学习方法，包括 RNN、LSTM、GRU 等递归神经网络结构，通过对系统输入 (如脉宽调制PWM控制信号) 与输出 (如电机角速度) 的时间序列学习，建立无需先验物理建模的动态响应模型，自动隐式吸收摩擦效应。

此外，还引入了稀疏识别方法 SINDy (Sparse Identification of Nonlinear Dynamical Systems) ，通过构造由二阶多项式函数组成的候选函数库，在使用不同优化器的条件下从实验数据中直接回归出最简形式的动力学方程。该方法在不借助传统建模公式的情况下，可自动识别出系统控制结构、非线性项与物理参数。进一步地，采用 PINN (Physics-Informed Neural Network) 方法对直流齿轮电机的耦合一阶微分方程进行建模。在这一混合建模过程中，结合了牛顿第二定律与基尔霍夫电路定律推导系统控制方程，并使用神经网络近似系统响应，同时在损失函数中引入物理约束项，以实现物理一致性训练。值得注意的是，与传统模型不同，PINN 同时训练系统物理参数 (如黏性摩擦系数) 与神经网络权重，通过反向传播在训练过程中一并估计，避免了额外辨识步骤。

实操方面，研究以直流电机为平台，设计开环控制实验，输入随时间变化的脉宽调制(PWM)阶跃信号，输出通过编码器获取电机转速。实验数据被分别用于训练四种神经网络模型 (FNN、CNN、LSTM、PINN) 以及SINDy模型，均在TensorFlow框架下完成。PINN模型的构建过程包括数据加载、网络结构初始化、权重初始化与基于物理残差的损失函数构造，并使用标准反向传播算法训练网络参数及系统物理参数。在系统建模和参数辨识中，讨论前向与反向建模任务 (forward and inverse modeling)、在线与离线建模策略 (online/offline identification)，并强调在数据驱动系统中，摩擦建模不再需要额外分离处理，因为其影响已包含在系统响应数据中。这种统一框架下的建模方式大大简化了辨识流程。

计算结果不仅提升了机电系统在复杂摩擦场景下的建模能力，也展示了这些方法在非线性电机控制、数字孪生建模、系统故障检测等工程应用中的广阔前景。特别是在复杂边界条件和多源扰动下，数据驱动与物理约束融合的混合建模方法 (如PINN) 展现出更强的泛化性、物理可解释性和实用性。

图 11不同深度学习方法的电机角速度预测结果对比

第五天

基于深度学习的旋转轴振动不平衡检测 (实操+代码)

本节围绕旋转机械不平衡检测任务，讲解如何利用多种深度学习与机器学习模型进行分类建模与性能对比。旋转设备的不平衡状态会带来能耗增加、机械磨损甚至停机事故，因此通过振动传感器早期发现故障，对工业生产具有关键意义。本案例以变转速、变不平衡配重的轴系实验为基础, 讲解试验台设计要领，传感器布置要领以及具有代表性的工作状态的选取，实验过程的认为变量分析，采集多个振动通道与实时转速信号，并将其转换为时间窗数据与频域特征，通过不同建模策略进行训练与评估。

在实验中，使用变幅度配重与多种转速组合采集数据，构建具有代表性的工业测试场景。借助DeepSeek处理数据和训练模型, 信号经过窗函数切分和FFT变换后送入模型进行训练与推理。研究分别测试了卷积神经网络 (CNN)、全连接网络 (FCN)、随机森林 (Random Forest)、隐马尔可夫模型 (HMM) 等四类建模策略，并针对速度变化、建模精度、训练复杂度等指标进行了系统性评估。

在 Approach1中，CNN直接接收原始窗口振动数据作为输入，网络深度通过调节卷积块数量进行调整。模型结构包括卷积层、批归一化、激活函数和池化，末尾连接全连接层与Sigmoid激活函数输出层。这种方法无需复杂预处理，能自动提取关键时域特征，并取得良好的分类性能。

在Approach 2中，使用每秒 (4096点) 的窗口计算FFT频谱，并对频域特征进行标准化处理 (中位数归零，按分位差缩放)，将其作为输入送入全连接神经网络。该方法显著提升了对不同转速条件下小幅度不平衡的检测精度，最高分类准确率达98.6%。

在Approach 3中，采用tsfresh或手工提取的时间序列特征 (如振动信号的标准差、峰度与RPM均值) 训练随机森林分类器。尽管特征维度低 (3–7个)，但对大幅度不平衡仍有稳定识别能力，适合作为轻量级模型或嵌入式部署参考。

在Approach 4中，隐马尔可夫模型通过对Mel频率倒谱系数 (MFCC) 序列建模，结合逻辑回归实现分类。此方法对转速变化敏感，因此在训练时为不同速度分别构建子模型，并通过三阶段训练流程 (HMM、Scaler、分类器) 提升分类鲁棒性。尽管复杂度高，但对不平衡模式变化表现出较强适应性。

图 12CNN, FFT-CNN, MPCC工作流

整体来看，不同方法在不同不平衡幅度和转速条件下表现存在差异。CNN适用于快速开发与粗分类，FCN在频谱输入下精度最高，HMM更适用于模式检测与序列建模，而随机森林作为基线模型适合轻量部署。在未来应用中，建议采用模型集成策略，以不同模型的强项在不同转速段中形成互补，提升整体精度与稳定性。此外，工业落地场景中，模型可解释性与可追溯性也将是关键问题，需结合SHAP (SHapley Additive exPlanations)、LIME (Local Interpretable Model-agnostic Explanations)等可解释工具加以分析(借助DeepSeek)。

图 13测试设备简图, 振动信号和转速的时域和频谱图

基于物理的结构振动问题正反向深度神经网络 (MATLAB实操+代码)

本节讲解如何基于 Physics-Informed Neural Networks (PINNs) 在MATLAB环境中构建正向与反向的结构振动求解模型。PINNs 可无监督求解控制方程，在不使用系统响应数据的前提下捕捉连续系统的时空动态特性，为结构动力学建模提供了一种无网格的数值方法。为弥补传统 PINNs 在振动问题中存在的损失项尺度不均衡问题 (loss scaling issue) ，本研究通过对神经网络输出进行结构性修改，以无代价方式增强模型精度。

正向建模中，PINNs 通过定义空间与时间为自变量的全连接神经网络 (FC-DNN) ，构造控制方程、边界条件和初始条件，并利用自动微分计算 PDE 残差。控制方程的残差项、边界条件项与初始条件项组成复合损失函数，由 ADAM 优化器训练网络参数。然而，在传统结构下，由于不同损失项 (LF、LB、LI) 数值量纲差异过大，容易造成梯度不均衡，从而影响 PDE 解的准确性。为解决该问题，本文采用输出函数重构法，在不额外引入边界/初始项的前提下，通过引入映射函数，使得网络输出同时满足物理条件，避免使用多个损失项，并仅对 PDE 残差项进行最小化，从而提升稳定性与求解精度。

在反向建模 (参数辨识) 任务中，网络结构保持不变，仅通过修改损失函数，引入系统响应与网络预测间的差值项，实现对系统参数 (如刚度阻尼 ) 的同时优化。训练过程中添加少量高斯噪音以模拟实际测量误差，优化目标为最小化预测响应与测量数据之间的差异。

本节提供以下典型算例作为实操内容，并辅以完整 MATLAB 实现：

受迫振动的一自由度弹簧-质量系统：构造控制方程、边界/初始条件，设计网络结构 (4 层，每层 20 单元，激活函数采用正弦函数) ，使用标准 PINN 与改进 PINN 对比时间响应精度；

自由振动的二维自由度系统 (2-DOF) ：构建多自由度耦合振动方程，每个自由度对应一个神经网络输出节点，进行解耦、建模和正向预测；

参数识别任务：基于同一系统，引入测量数据，识别刚度与阻尼参数，展示正反问题下的统一建模框架；

矩形膜的自由振动问题：将方法推广到二维 PDE 问题中，展示改进后的 PINN 架构如何适应不同边界条件与控制方程。

与传统 Python 实现不同，本研究基于 MATLAB 的 Deep Learning Toolbox 实现了 PINN 全流程代码，降低了对 Python 框架的依赖，拓展了该方法在工程与科研领域的受众范围。整体流程包括数据准备、网络构建、损失函数定义、自动微分、训练与可视化，具备高度可迁移性与工程可复用性。

时间：

2025.9.06-----2025.9.07全天(上午9:00-11:30下午13:30-17:00)

2025.9.11-----2025.9.12晚上(晚上19:00-22:00)

2025.9.13-----2025.9.14全天(上午9:00-11:30下午13:30-17:00)

腾讯会议 线上（共五天时间 提供全程回放视频）

详情：AI辅助结构动力学系统控制与监测